در سال ۱۸۵۰، توماس پنینگتن کرکمن به‌عنوان جانشین یا قائم مقام (ویکار، مقامی در کلیسای کاتولیک) کلیسای انگلستان به‌کار بود. او درعین‌حال ریاضیدان هم بود و در اوقات فراغت، به فعالیت‌های علمی می‌شد. در این سال، کرکمن معمایی به نام دختر مدرسه را طراحی کرد که بدین‌شکل بود:

پانزده دختربچه مدرسه‌ای باید به‌مدت هفت روز در گروه‌های سه‌تایی تقسیم شوند. این گروه‌بندی‌ها باید هرروز تکرار شوند و هیچ دختربچه‌ای نباید از یک بار با کسی هم‌گروه شود.

برای ریاضیدان امروزی این نوع مسائل بهترین نمونه از مفهوم ابرگراف هستند. یعنی گراف‌هایی متشکل از گره‌هایی هستند که در گروه‌های سه‌تایی یا بیشتر قرار گرفته‌اند. در معمای دختر مدرسه‌ای کرکمن، پانزده دانش‌آموز را می‌توان به‌صورت ۱۵ گره در نظر گرفت و هر گروه سه‌تایی را می‌توان به صورت مثلثی با سه یال یا ضلع کرد که نقطه‌ها را به هم مرتبط می‌کنند.

معمای کرکمن اساساً این سؤال را مطرح می‌کند که آیا می‌توان آرایشی را پیدا کرد که در آن گروه‌های سه‌تایی (مثلثها) همه این پانزده دختربچه (نقطه‌ها) را به هم مرتبط می‌کنند، با این محدودیت‌ها که نباید هیچ مثلثی با افراد ضلع مشترک داشته باشند. . مظرک‌بودن صدر بیان ددو مظلث بدهین‌‌منیههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههتتت همررررر هم هره این ارتباط بدین‌معنا است که هر دختربچه در هر روز به‌مدت یک هفته با دو دوست جدید همگروه می‌شود؛ بنابراین، تمام دختربچه ها دقیقاً یک بار با هر یک از همکلاسی های خود همگروه می شوند.

معماهای اینچنینی دو قرن است که ریاضیدانان را خود ساخته است. یعنی از زمانی‌که کرکمن معمای دختربچه‌ای خود را مطرح می‌کند. در سال ۱۹۷۳، ریاضی‌دانی افسانه‌ای به نام پال اردوش معمای مشابهی را مطرح کرد. اردوش گفت که آیا امکان دارد ابرگراف با دو ویژگی به‌ظاهر متضاد و وفق‌ناپذیر ساخت.

اوّل این است که هر جفت گره باید دقیقاً به‌واسطه‌ای یک مثلث با همدیگر باشند (همانند معمای دختربچه مدرسه). این ویژگی باعث می‌شود تا مثلث‌های زیادی در ابرگراف وجود داشته باشد. الزام دومی که اردوش برای معمایی خود طراحی کرده، باعث می‌شود مثلثها به‌شکل یکپارچه در ابرگراف پخش شوند. به‌طور‌دقیق‌تر، این شرط می‌شود که برای هرگروه از مثلث‌ها کمتر از تعداد مثلث‌ها وجود داشته باشد. دیوید کنلنریاضیدان مؤسسه فناوری کالیفرنیا، درباره معمای اردوش می‌گوید:

شما در این معما می‌توانید کاملاً متضاد را مشاهده کنید. یعنی شیء پیچیده و متراکمی باید ایجاد کنید، بدون اینکه هیچ‌کدام از نواحی آن متراکم باشد.

در ماه ژانویه، چهار ریاضیدان با انتشار گزارش پیچیده‌ای ۵۰ صفحه نشان داد که امکان ترسیم چنین ابرگرافی وجود دارد. البته به‌شرطي‌كه به‌اندازه‌اي كافي در ابرگراف وجود داشته باشد. آلن لو، ریاضیدان دانشگاه بیرمنگام می‌گوید:

حجم ریزه کاری فنی که برای حل این معما به کار رفته، شگفت انگیز است. به نظر من، این کار آن‌ها واقعاً حیرت‌آور است.

این تیم تحقیقاتی سیستمی طراحی کرده است که برای تعیین الزامات شیطانی معمای اردوش از روش‌های تشخیصی برای انتخاب مثال‌ها و سپس با استفاده از روش‌های دقیق مهندسی برای تعیین نیازهای آن استفاده می‌کند. کنلن میگوید:

تعداد اصلاحات انجام شده روی این سیستم واقعاً سرسام‌آور است.

استراتژی این بود که ترسیم ابرگراف را ابتدا از مثلث‌های منفرد شروع کنند. برای مثال، پانزده دختربچه‌ی مدرسه‌ای کرکمن را در نظر بگیرید. بین هر دو نفر یک خط بکشید. هدف در این‌جا ترسیم مثلث‌ها به‌شکلی است که باید معمّا را بپذیرد: اول اینکه هر دو مثلثی نباید ضلع مشترک داشته باشند (به سیستم‌هایی که از این قانون پیروی می‌کنند، سیستم‌های سه‌گانه‌ای که گفته می‌شود می‌شوند) و دوم اینکه باید مطمئن شوید که در ترسیم شوید. هر زیرگروه از مثلث ها به اندازه کافی از گره های بیشتر استفاده شود.

مقاله مرتبط:

شاید بهترین روش برای حل این معما از یک تشابه باشد. تصور کنید که با جای ترسیم مثلث‌ها باید از قطعات لگو خانه بسازید. در ابتدا، می توان در ساخت خانه های لغات از قطعات استفاده کرد تا آن ها را بزرگ تر و زیباتر بسازید. وقتی کار ساخت این خانه‌ها تمام شد، آن‌ها را در یک گوشه قرار داد. این خانه‌ها بعداً نقش جاذب، یعنی نوعی سازه‌های توده‌ای را خواهند داشت.

گراف و نقطه

اکنون با قطعات لگوی باقی مانده کار ساخت خانه‌های ساده‌تر را شروع می‌کنید. وقتی رفته رفته تعداد قطعات لگو کم شود، ممکن است چند خانه ضعیف و قطعات به‌دردنخور روی دست شما باقی بماند. بااین‌حال، از آن‌جا که خانه‌های جاذب قطعات اضافی هستند، ممکن است برای تکمیل کار خود از قطعات آن‌ها استفاده کنید، بدون اینکه باعث فروپاشی این خانه‌ها شوند.

در سیستم اشتاینر، شما به‌جای ساخت خانه‌ها از قطعات لگو، باید مثلث ترسیم کنید. در این جا، نقش جاذب را یک گروه از اضلاع ایفا می کند. اگر برای ادامه این سیستم به مثلثها به مشکل برخورد کرد، می توان از اضلاع جاذب استفاده کرد. هنگامی که این کار انجام می شود، هم زمان ساختار جاذب را نیز به مثلث های کوچکتر تقسیم می کنید.

از استراتژی جذب همیشه جواب نمی‌دهد؛ امادانان با انجام اصلاحاتی در این روش دوره‌اند، آن را می‌سازند. برای مثال، استفاده از واریانتی می‌تواند به یک دسته توالی تودرتو تبدیل شود. به گونه‌ای که هریک از این دسته‌ها نقش جاذب را برای بزرگ‌ترین گروه بعدی ایفا می‌کند. کنلن میگوید:

در یک دهه گذشته، پیشرفت زیادی در این زمینه به دست آمده است. این کار نوعی هنر به‌شمار می‌رود؛ اما آن‌ها با ارائه این راه‌حل شاهکار خلق کرده‌اند.

حل معمای اردوش حتی با استفاده از روش جذب تکرار می شود نیز مشکل بود. مهتاب ساوهنیریاضیدان مؤسسه ماساچوست، درباره این موضوع می‌گوید:

ما خیلی سریع متوجه شدیم که چرا این معما تا به حال حل نشده است. برای حل معما، باید ریزه‌کاری‌های فنی جالب، اما پیچیده‌ای را به کار بسته می‌شد.

ساوهنی یکی از چهار نفری است که معمای اردوش را حل کرده اند. اعضای دیگر این تیم عبارت‌اند از: اشوین ساه (ریاضی‌دان و فارغ‌التحصیل مؤسسه‌ی فناوری ماساچوست) و مایکل سیمکین (دانشجوی فوق‌دکتری در مرکز علوم ریاضی و کاربردی دانشگاه هاروارد) و متیو کوآن (ریاضی‌دان مؤسسه علوم و فناوری اتریش).

برای مثال، یکی دیگر از کاربردهای روش های جذب تکرار می شود این است که پس از پرداختن به برخی از مثلث ها در سیستم های سه تایی دیگر (اجزای سازنده دیگر در سایر سیستم ها) می توان این ساختارها را در کنار گذاشت و تا پایان کار آن ها را فراموش کرد. بااین‌حال، شرایط معمای اردوش به‌گونه‌ای است که ریاضیدانان را از انجام این کار منع می‌کند. در واقع، در معمای اردوش یک خوشه‌ای درهم‌تنیده‌شده از مثلث‌ها به‌راحتی می‌تواند شامل گره‌های متعددی از چند جاذب باشد. ساوهنی در اینباره میگوید:

شما مثلثی که در حل حل مسئله 500 گام قبل تر به آن پرداخته بودید، به نوعی به یاد آورید و دوباره به آن فکر کنید.

این چهار ریاضی به این فکر افتادند که اگر در گام‌های اول مثلث‌ها را با دقت انتخاب کنید، شاید به یادسپاری تمام گام‌های حل مسائل حل نیازی نباشد. ساوهنی می‌گوید:

بهترین کاری که می‌شود، این است که گروه‌های صد تایی از مثلث‌ها را انتخاب کنند و مطمئن باشند که این دسته از مثلث‌ها با بهترین امکان انتخاب‌شده و به تغییر آن‌ها نیازی ندارند.

نویسندگان گزارش این مطالعه امیدوارکننده‌ها هستند که روش ابداعی آن‌ها را برای حل سایر مسائل نیز به کار برده است. هماکنون، این پژوهشگران کار روی مسائلی مانند لاتین هستند که از پازل سودوکو به‌شمار می‌رود. کوآن معتقد است در آینده، ممکن است معماهای بیشتر با استفاده از روش جذب حل شوند. او میگوید:

مسائل تخصصی در حوزه ترکیب و به‌خصوص نظریه‌ی طراحی وجود دارد که روش‌های انتخاب ابزار قدرتمندی برای حل آن‌ها تلقی می‌شوند.

با توجه به این موضوع که در دهه‌های ۱۹۶۰، یکی از آن‌ها راه حلی یافت نشد. مایا استین، قائم‌مقام مرکز مدل‌سازی ریاضی دانشگاه شیلی، روش جذب از زمان معرفی خود را بسیار انجام داده است. اما برای حل معماهای بعدی شاید به اصلاحاتی نیاز داشته باشید. او اضافه می‌کند: «دیدن نحوه‌ی توسعه‌ی این مدل‌ها برایم واقعاً شگفت‌آور است».

اگر دوست داشتی امتیاز دادن یادت نره!